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 이 책은 자연계열 대학 신입생이 일년간 이수하도록 꾸민 미분학과 적분학에 관한 교과서이다. 미적분학은 학문하는 이에게 이념과 방법 및 기교를 제공해 주는 가장 기본적이면서도 필수적인 교양과목으로 실수의 성질, 최대값 정리, 중간값 정리, 임계점 정리, 불록함수, 테일러 전개, 벡터, 행렬과 선적분, 스토크스 정리 등에 관한 개념과 이들의 이용법 등을 다룬다. 미적분학에서 가장 중요한 정리, 즉 넓은 의미로의 「미적분학 기본정리」는 함수와 공간 사이의 쌍대성을 보여 준다. 이런 의미에서 스토크스 정리를 이해하는 것이 이 책의 가장 중요한 목표 중의 하나라고 볼 수 있다.

 

제Ⅰ부 급수와 테일러 전개
제1장 급수
제1절 수열과 급수
1.1 수열
1.2 수렴하는 수열의 기본성질
1.3 자연상수
1.4 급수
1.5 급수의 수렴과 발산
1.6 수렴하는 급수의 기본 성질
제2절 등비급수
2.1 원금과 이자
2.2 등비급수와 근사값
제3절 비교판정법
제4절 멱근판정법
제5절 비율판정법
제6절 적분판정법
6.1 제타함수
제7절 교대급수와 절대수렴급수
7.1 교대급수
7.2 절대수렴급수
제8절 부록: 실수 이야기
8.1 상계
8.2 하계
8.3 비교판정법 정리의 증명
8.4 교대급수 정리의 증명
8.5 아르키메데스의 원리
8.6 지수함수와 미분법
8.7 상한과 하한
8.8 유계인 함수
8.9 실수한 무엇인가?

제2장 멱급수
제1절 멱급수
제2절 멱급수와 수렴반경
제3절 지수함수와 멱급수
3.1 자연상수는 무리수
3.2 지수함수와 증가율
제4절 삼각함수와 멱급수
제5절 쌍곡함수
제6절 역삼각함수와 멱급수, 그리고 역함수 정리
6.1 역함수 정리
6.2 역탄젠트 함수와 원주율
제7절 부록: 미분 방정식, 멱급수 기본정리의 증명
7.1 미분방정식과 멱급수
7.2 멱급수 기본정리와 역함수 정리의 증명

제3장 테일러 전개
제1절 코시의 평균값 정리
제2절 코피탈의 정리
제3절 무한소와 근사다항식
제4절 테일러 정리
4.1 라이프니츠의 공식
4.2 무리함수와 근사값
제5절 테일러 급수
5.1 멱급수 함수의 테일러 급수
5.2 테일러 급수의 수렴조건
5.3 로그함수의 테일러 전개
5.4 비해석함수
제6절 임의의 점을 기준으로 한 테일러 전개
6.1 임의의 점을 기준으로 한 테일러 급수
제7절 부록: 로피탈의 정리의 증명

제Ⅱ부 벡터와 행렬
제4장 좌표공간과 좌표계
제1절 좌표공간과 좌표계
1.1 연산
1.2 두 점 사이의 거리
제2절 극좌표계
2.1 원의 방정식
2.2 직선의 방정식
2.3 쌍곡선의 방정식
2.4 아르키메데스와 선
2.5 쌍곡 와선
2.6 로그 와선
2.7 심장형 곡선(cardioid)
2.8 네잎 장미
제3절 원기둥 좌표계와 구면 좌표계
3.1 원기둥좌표계
3.2 구면좌표계
제4절 부록: 유클리드 공간
4.1 거리공간
4.2 등장사상
4.3 좌표계
4.4 직교좌표계

제5장 벡터
제1절 평행이동
제2절 유향선분과 벡터
2.1 벡터
2.2 표준단위벡터
2.3 나란한 벡터
제3절 벡터의 내적
3.1 정사영
제4절 직선과 평면의 방정식
4.1 평면의 방정식
4.2 직선의 방정식
4.3 입체그림
4.4 중심
제5절 일차독립과 일차종속
제6절 부록: 좌표공간의 기저와 차원
6.1 생성집합
6.2 기저
6.3 격자
6.4 차원
6.5 차원
6.6 기저와 좌표계

제6장 행렬과 선형사상
제1절 행렬
1.1 행렬과 연산
1.2 형렬의 곱
1.3 전치행렬
1.4 정사각행렬
제2절 선형사상
제3절 부록: 등장변환과 행렬의 극한
3.1 등장변환
3.2 정사각행렬과 다항식
3.3 행렬의 극한
3.4 행렬 급수

제7장 정사각행렬과 행렬식
제1절 역행렬
제2절 치환
2.1 사다리 타기
2.2 치환의 곱과 역치환
2.3 치환의 부호
제3절 행렬식
제4절 부록: 치환의 부호와 행렬식의 성질
4.1 치환의 부호
4.2 행렬식의 성질

제8장 삼차원 공간과 벡터의 외적
제1절 외적
제2절 외적과 행렬
제3절 회전력

제Ⅲ부 곡선
제9장 곡선
제1절 매개화된 곡선
1.1 곡선의 매개화
1.2 미분가능 곡선
1.3 속도벡터
1.4 접선의 방정식
1.5 회전운동과 각속도 벡터
제2절 가속도 벡터
2.1 접촉평면
제3절 재매개화
3.1 재매개화와 불변량
3.2 역향곡선
제4절 곡선의 길이
4.1 나선의 길이
4.2 사이클로이드
4.3 그래프의 길이
4.4 극좌표계와 곡선의 길이
4.5 구면 측지선
제5절 극좌표계와 영역의 넓이
제6절 호의 길이와 재매개화
제7절 선적분
7.1 곡선의 중심
7.2 곡선의 질량중심
7.3 선적분과 매개화
제8절 곡선과 곡률
8.1 접촉원
제9절 부록: 현수선, 가까운 곡선, 등시곡선
9.1 현수선
9.2 서로 가까운 두 곡선의 길이
9.3 등시곡선

부록
1 기호 모음
2 적분표
3 쌍곡삼각함수와 삼각함수표
4 제곱근표
5 로그표
6 연습문제 풀이

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